Un parallélogramme est un type spécial de quadrilatère, défini par le fait que les deux paires de côtés opposés sont parallèles. Cela donne au parallélogramme plusieurs autres propriétés, qui restent toutes vraies quelles que soient les dimensions d’un parallélogramme particulier. Ces propriétés sont également valables pour les cas spéciaux qui ont des restrictions supplémentaires.
Sommaire de cette fiche pratique
Les bases
Les côtés opposés et les angles opposés d’un parallélogramme sont congruents. Les deux diagonales d’un parallélogramme se coupent l’une l’autre, et chacune d’entre elles divise le parallélogramme en deux triangles congruents. Les quatre angles d’un parallélogramme, comme ceux de tous les quadrilatéraux, totalisent 360 degrés ; la somme de deux angles adjacents au même côté d’un parallélogramme est toujours de 180 degrés. C’est le résultat d’une paire de côtés qui sont des lignes transversales de l’autre paire.
Formules
Le périmètre d’un parallélogramme est égal à la somme de ses côtés ; sa surface est le produit de l’un de ses côtés, appelé la base, et de la hauteur correspondante, définie comme la distance perpendiculaire entre la base et son côté opposé. En appliquant la loi trigonométrique des sinus, vous pouvez définir la hauteur comme le produit du côté non-base et le sinus de l’angle aigu du parallélogramme. Considérez un parallélogramme ABCD, son angle aigu E et sa hauteur H inconnue ; prenez CD comme base. Le triangle formé par H, le côté CA et une petite partie de la base est un triangle droit, avec l’angle droit opposé à CA. Appliquer la loi des sinus :
H / sin(E) = CA / sin(90°) H = (sin(E) * CA) / sin(90°)
Parce que sin(90°) = 1, H = (sin(E) * CA. Par conséquent, vous pouvez aussi trouver la surface d’un parallélogramme en calculant le produit de ses côtés et le sinus de son angle aigu.
Cas particuliers
Le parallèle pourrait être considéré comme la forme parentale du losange, du rectangle et du carré, puisque les trois formes obéissent à toutes les règles des parallélogrammes avec quelques restrictions supplémentaires. Plus précisément, tout parallélogramme dont les côtés sont tous égaux est appelé losange, alors que tout parallélogramme dont les angles sont tous à 90 degrés est un rectangle. Un carré combine les restrictions du losange et du rectangle, exigeant que tous les côtés soient égaux et que tous les angles soient à 90 degrés.
Parallélogrammes inscrits
Prenez n’importe quel quadrilatère, qu’il soit auto-sectionné ou non, et trouvez le point médian de chacun de ses côtés. Si vous tracez ensuite des lignes qui relient les points médians de façon séquentielle, la forme résultante sera toujours un parallélogramme. Ceci peut être facilement prouvé en dessinant une diagonale du quadrilatère original, en le divisant en deux triangles et en appliquant les règles qui affectent le milieu d’un triangle. Considérons le quadrilatère ABCD, la forme formée par les points médians JKLM et la diagonale BD. Par définition, la ligne JM est le milieu du triangle ABD, et est donc parallèle à BD et la moitié de sa longueur. De même, la ligne LK est le milieu du triangle DBC, et est donc parallèle à BD et la moitié de sa longueur. Par conséquent, JM et LK sont parallèles et congruents et la forme JKLM est un parallélogramme.
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